Tensor de Campo

Esse texto é um rascunho baseado em algumas das minhas anotações sobre eletrodinâmica relativística.


(muitos detalhes prévios)

Classicamente a chamada força de Lorentz é representada por

F=q(E+v \times B)

Então é possível encontrar uma “versão relativística” da força de Lorentz. Em geral uma forma análoga seria

\frac{dp^\mu}{d\tau}=\frac{q}{c}F_\beta^\mu \eta^\beta

onde

  • x^\mu \equiv (x^0, x^1, x^2, x^3) = (ct, x, y, z) = (ct, x^i)
  • u^i = v_{AS}^i (é a velocidade de um sistema A em relação a um referencial \mathcal{S})
  • \gamma = \gamma_u \equiv \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}}
  • d\tau = \sqrt{ 1 - \frac{u^2}{c^2} } dt = \frac{dt}{\gamma}
  • \eta^\mu \equiv (\gamma c, \gamma u^i)
  • p^\mu = (\frac{E}{c}, m \eta^i) = (m \gamma c, m\gamma, u^i)
  • \frac{1}{c} é uma constante

Pode-se escrever o primeiro termo de forma mais conveniente, primeiro aplicando a regra do produto

\frac{dp^\alpha}{d\tau}=\frac{d}{d\tau}m\eta^\alpha=\frac{dm}{d\tau}\eta^\alpha + m\frac{d\eta^\alpha}{d\tau}

e daí multiplicando tudo por \eta_\alpha

\frac{dp^\alpha}{d\tau}\eta_\alpha=\frac{dm}{d\tau}\eta^\alpha\eta_\alpha + m\frac{d\eta^\alpha}{d\tau}\eta_\alpha.

Se a massa é invariante por transformações de Lorentz, então

\frac{dp^\alpha}{d\tau}\eta_\alpha=m\frac{d\eta^\alpha}{d\tau}\eta_\alpha.

Por outro lado:

\frac{d}{d\tau}\left( \eta^\alpha \eta_\alpha \right)=\frac{d\eta^\alpha}{d\tau}\eta_\alpha + \eta^\alpha\frac{d\eta_\alpha}{d\tau}=2\frac{d\eta^\alpha}{d\tau}\eta_\alpha,

Mas como os objetos estudados são campos eletromagnéticos no vácuo; em todo referencial a velocidade de propagação é igual a c, então

\eta^2=-c^2 \Rightarrow \frac{d}{d\tau}\eta^2=\frac{d}{d\tau}\left( \eta^\alpha \eta_\alpha \right)=0.

Juntando tudo:

\frac{dp^\mu}{d\tau}\eta_\mu=m\frac{d\eta^\mu}{d\tau}\eta_\mu=\frac{1}{2}\frac{d}{d\tau}\left( \eta^\mu \eta_\mu \right)=0.

Então, da equação inicial, segue que

\frac{dp^\mu}{d\tau}\eta_\mu = \frac{q}{c} \boxed{F_\beta^\mu \eta^\beta \eta_\mu = 0}.

(mostrar) É possível usar o tensor métrico

g_{\mu\nu} \equiv \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = g^{\mu\nu}

reescrever a equação destacada da seguinte forma

F^{\beta \mu} \eta_\beta \eta_\mu=0.

Das propriedades dos tensores, algo na forma

a_\alpha a_\nu

é um tensor chamado simétrico. Então, para essa última igualdade valer sempre é preciso que

F^{\beta\mu}

seja um tensor antissimetrico. A propriedade especial de um tensor antissimétrico é

\chi^{ij}=-\chi^{ji}.

Comparando as forças de Lorentz clássica e tensorial

F=q(E+v \times B)

e

\frac{dp^\mu}{d\tau}=\frac{q}{c}F_\beta^\mu \eta^\beta,

resta buscar as condições para que as duas sejam iguais. Para isso é conveniente identificar o produto vetorial como

(\nabla \times B)_i = \epsilon_{ijk}\partial_j B_k

onde \epsilon^{ijk} é o “símbolo de Levi-Civita”.

Começando pelos termos da esquerda:

\frac{dp^{i}}{d\tau}=\frac{dp^{i}}{\frac{dt}{\gamma} }=\gamma \frac{dp^{i}}{dt}.

Então

\frac{dp^i}{dt} = q(E^i + \epsilon_{ijk}v^j B^k) \qquad \text{(classico)}

\frac{dp^i}{d\tau} = \gamma \frac{dp^{i}}{dt} = \frac{q}{c} \left( F^{i}_{\alpha}\eta^{\alpha} \right) = \frac{q}{c} \left( F^{i}_{0}\eta^{0} + F^{i}_{j}\eta^{j} \right), \qquad \text{(relativistico)}

daí

\not{\gamma} \frac{dp^{i}}{dt} = \frac{q}{\not{c}} F^{i}_{0}\not{\gamma}\not{c} + \frac{q}{c} F^{i}_{j}\not{\gamma}v^{j}.

Então comparando as formas clássica e relativística:

\boxed{F^{i}_0=E^i}

e

\boxed{F^{i}_j=c\epsilon^{ijk}B^{k}}.

A última equação não está tensorialmente correta. É preciso que os índices “combinem” e nela nota-se que o índice j de F não está na mesma posição que o de \epsilon. Novamente usa-se o tensor métrico para “subir os índices”:

F^{i0}=F^{i}_{0}g^{00}=-E^i

e

F^{ij}=F^{i}_{\rho}g^{\rho j}=c\epsilon^{ijk}B^{k} \qquad (j \neq 0)

um exemplo para perceber melhor o que ocorre na última igualdade é o seguinte:

\begin{aligned} F^{12} &= F^{1}_{2} g^{12}\\ &= c\epsilon^{12k}B^{k} g^{12}\\ &=c \not{\epsilon^{121}} B^{1} g^{12} + c \not{\epsilon^{122}} B^{2} g^{12} + c\epsilon^{123}B^{3} g^{12}\\ &= c\epsilon^{123}B^{3}. \end{aligned}

Então, pela antissimetria de F^{\alpha \beta}

F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & \mp F^{10} & \mp F^{20} & \mp F^{30}\\ \pm F^{10} & 0 & \mp F^{21} & \mp F^{31}\\ \pm F^{20} & \pm F^{21} & 0 & \mp F^{32}\\ \pm F^{30} & \pm F^{31} & \pm F^{32} & 0 \end{pmatrix}

Como F^{i0}=-E^i, então

F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & E_x & E_y & E_z\\ -E_x & 0 & \mp F^{21} & \mp F^{31}\\ -E_y & \pm F^{21} & 0 & \mp F^{32}\\ -E_z & \pm F^{31} & \pm F^{32} & 0 \end{pmatrix}

Por F^{ij}=c\epsilon^{ijk}B^{k}, tendo em mente as propriedades do símbolo de levi-civita

\boxed{F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & E_x & E_y & E_z\\ -E_x & 0 & cB_z & -cB_y\\ -E_y & -cB_z & 0 & cB_x\\ -E_z & cB_y & -cB_x & 0 \end{pmatrix} }.

Então se o tensor de campo F^{\mu\nu} tiver a forma da equação anterior, a forma relativística da força de Lorentz é análoga à forma clássica. É possível partir desse ponto e desenvolver alguns outros resultados a fim de reescrever as equações de Maxwell em forma tensorial.

(alguns detalhes posteriores)

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