Mecânica Clássica

Abaixo segue o fragmento de um texto no qual venho fracassando trabalhando homeopaticamente desde o final de 2014. É provável que esse texto principal não fique pronto tão logo, mas achei interessante deixar um pedaço dele aqui.

É saudável ter em mente que o que segue não passa de uma releitura das minhas anotações de mecânica clássica para graduação em física. Seu papel junto ao texto principal é ser um tipo de visão geral de um dos tópicos requisitos para o melhor entendimento do tema central. Então não é um manual, apenas um passeio.

Por último: há alguns bugs de formatação. O motivo é o fato de originalmente isso tudo não estar no formato que o WordPress gosta. A versão original passou por um script que fez a “conversão” na base da gambiarra. Então invoco um “pode entrar, mas não repara a bagunça”.


Enxergo dois possíveis pontos de partida rumo à ideia de hamiltoniano: o princípio de D’Alembert e o princípio da mínima ação. Ambos são equivalentes e, para os propósitos do texto, possuem vantagens e desvantagens. O princípio de D’Alembert me parece mais natural, mas o caminho é mais longo; enquanto o princípio da mínima ação envolve menos cálculos, mas invoca alguns métodos do chamado cálculo variacional, um ramo da matemática.

Talvez seja preferível partir do princípio de D’Alembert, omitindo desenvolvimentos matemáticos muito extensos. A maioria se encontra nos primeiros capítulos do Goldstein e na prática são “apenas” manipulações envolvendo derivadas parciais.
Tudo isso registrado, é hora de voltar ao nascimento da dinâmica.

Histórico

Em meados de 1687 Isaac Newton apresentou ao mundo uma espécie de tratado sobre o movimento. No núcleo de tudo se encontram as três leis que não podem ser derivadas de princípios mais fundamentais e tudo que se move o faz de acordo com elas. É dispensável comentar a importância dos trabalhos de Newton para a compreensão da natureza. Ocorreu que esses trabalhos foram estudados e explorados até que surgiu uma nova maneira de enxergar o movimento.
Por volta de 1788 uma reformulação da mecânica foi organizada e apresentada por Joseph-Louis Lagrange no “Mécanique Analytique“, dando origem ao chamado “formalismo lagrangiano”. Vale adiantar que apesar desse nome, Jean-Baptiste D’Alembert e Leonhard Euler foram tão importantes quanto Lagrange no desenvolvimento da nova interpretação da mecânica.

Do Princípio de D’Alembert ao Formalismo Lagrangiano

A segunda lei de Newton, quando reescrita na forma

\textbf{F}_i = \frac{d \textbf{p}_i}{dt} = m\frac{d \textbf{v}_i}{dt} = m \textbf{a}_i \qquad \qquad (1)

sintetiza a ideia a variação na velocidade de uma partícula i é proporcional a uma força externa aplicada a ela. A ideia de trabalho relaciona essa força externa F_i à distância dr percorrida pela partícula enquanto estiver sob efeito da força, através de

W = \int F_i \cdot \textbf{dr}.

Historicamente a noção de trabalho realizado por uma força esteve presente no estudo da estática, através do princípio do trabalho virtual. A ideia é que um sistema de N partículas em equilíbrio estático, sujeito a forças externas \textbf{F}_{i}^{e}, poderia se mover para diferentes direções \delta \textbf{r}_i – respeitando as restrições impostas pelos “vínculos de movimento”, que são os elementos que não fazem parte do sistema, mas que de alguma forma interferem em seu movimento, por exemplo: uma corrente deslizando pela borda de uma mesa; ao adotar a corrente como sistema, há um vínculo (com a mesa) que limita seu movimento.
Pelo princípio do trabalho virtual a condição de equilíbrio é aquela em que o trabalho das forças externas em todas as direções possíveis soma zero, ou seja

\delta W = \sum_{i} \textbf{F}_{i}^{e} \cdot \delta \textbf{r}_i = 0 \qquad \qquad (2)

Antes de prosseguir, por conveniência, vou parar de representar vetores por caracteres em negrito e vou passar a adotar a seguinte convenção para escrever derivadas no tempo:

\frac{df}{dt} \equiv \dot{f}

Finalmente, o que D’Alembert fez em “Traite de Dynamique” foi usar a ideia do trabalho virtual, típica de problemas de estática, para tentar resolver problemas de dinâmica. Ele fez isso da seguinte forma:

De (1)

F_i = \dot{p}_i \\ \Rightarrow F_i - \dot{p}_i = 0

Então

\sum_{i} (F_i - \dot{p}_i) \cdot \delta r_i = 0

já que o termo dentro dos parênteses é zero. Segundo as leis de Newton a variação de momento é devido a forças resultantes, portanto F_i pode ser decomposta em forças externas F_{i}^{e} e forças de vínculo f_{i}. Então

\sum_{i} [(F_{i}^{e} + f_{i}) - \dot{p}_i] \cdot \delta r_i = 0 \\ \sum_{i} (F_{i}^{e} - \dot{p}_i) \cdot \delta r_i + \sum_{i} (f_i - \dot{p}_i) \cdot \delta r_i = 0

Ao restringir o interesse a sistemas onde as forças de vínculo são nulas (um exemplo: sistema Terra-Sol), chega-se ao Princípio de D’Alembert

\boxed{ \sum_{i} (F_{i}^{e} - \dot{p}_i) \cdot \delta r_i = 0 }. \qquad \qquad (3)

Exemplo 1


Em geral boa parte dos livros-texto segue explorando a (3) para a obtenção de outros resultados. Mas talvez seja interessante fazer uma pausa para ver o princípio de D’Alembert em ação em um problema de estática. Como exemplo, considere um sistema de duas massas, conectadas por um fio inextensível e de massa desprezível, ambas sobre meio-cilindro, conforme ilustrado no diagrama a seguir:

diagrama-mec1-q4-cilindro2

Surge uma boa oportunidade de retomar a ideia de vínculo: considerando que as massas compõe o sistema, há um vínculo entre o sistema e o cilindro. Imagine que a figura é uma fotografia do sistema no instante t=t_0. Se o meio-cilindro não existisse o movimento do sistema nos t>t_0 seguintes seria vertical (ele cairia, certo?). Mas como há a metade de cilindro lá, nos próximos t>t_0 o sistema é obrigado a descrever uma espécie de movimento circular, em torno do centro do meio-cilindro de raio R.

Então na prática o vínculo impõe restrições ao movimento do sistema. Alguém poderia questionar a palavra “restrição”, já que sem o vínculo o sistema se moveria apenas na vertical, e com ele o sistema se move em ambas as direções, vertical e horizontal.
Nesse caso é importante perceber que, quando há o vínculo, há uma dependência entre deslocamento horizontal e vertical. Em outras palavras: o deslocamento horizontal do sistema em torno da superfície do meio-cilindro é uma função do quanto o sistema se deslocou na vertical (e vice-versa).

Tudo isso observado, resta tentar descobrir qual é a condição de equilíbrio. Segue de (3) que

\begin{aligned} \delta W &= \sum_{i} \left[ F_i - m_i \ddot{r_i}\right] \cdot \delta r_i & = 0\\ &= \left[ F_1 - m_1 \ddot{r_1}]\cdot \delta r_1 + [F_2 - m_2 \ddot{r_2}\right] \cdot \delta r_2 &= 0 \end{aligned}

como

s=R\theta \\ \Rightarrow \ddot{s}=R\ddot{\theta} \nonumber

e

\ddot{\theta}_1=\ddot{\theta}_2. \nonumber

segue que

\begin{aligned} &= \left[ -m_1 g - m_1 R\ddot{\theta}]\cdot \delta r_1 + [-m_2 g - m_2 R\ddot{\theta}\right] \cdot \delta r_2 = 0 \end{aligned}

Esses \delta r_i são deslocamentos virtuais e por definição podem apontar para qualquer direção. Nesse exemplo o sistema pode se mover em duas direções, vertical e horizontal, que vou chamar de y e x, respectivamente. Mas, conforme comentado anteriormente, os deslocamentos nessas direções dependem um do outro, então para a analisar o equilíbrio basta ver o que acontece com uma delas. Escolhendo y

y_i=Rsin\theta_i \\ \Rightarrow \delta y_i = R cos\theta_i \delta \theta_i \nonumber

lembrando que \delta \theta_1 = \delta \theta_2, pode-se escrever

\begin{aligned} &= -m_1 g \cdot \delta y_1 + m_2 g \cdot \delta y_2 - (m_1 cos\theta_1 + m_2 cos\theta_2) R\ddot{\theta} R \cdot \delta \theta = 0\\ &= -m_1 g R cos\theta_1 \cdot \delta \theta - m_2 g R cos\theta_2 \cdot \delta \theta - (m_1 cos\theta_1 + m_2 cos\theta_2) R\ddot{\theta} R \cdot \delta\theta = 0 \end{aligned}

como no equilíbrio a aceleração é nula (\ddot{\theta}=0), chega-se em

\begin{aligned} \delta W = [ -m_1 g R cos\theta_1 - m_2 g R cos\theta_2 ] \cdot \delta \theta = 0 \end{aligned}

que tem a mesma forma da (3). Para que a igualdade seja válida é necessário que

\frac{P_1}{P_2} = -\frac{cos\theta_2}{cos\theta_1} \nonumber

que é a condição de equilíbrio do sistema. Se \delta\theta=0 a condição também seria satisfeita, mas isso contrariaria a definição de trabalho virtual.


Voltando à missão: usar a (3) em problemas dinâmicos. Pra isso é necessário usar uma das chaves do formalismo lagrangiano: as coordenadas generalizadas. De forma prática: a posição r_i de um objeto i pode ser escrita como uma função de coordenadas arbitrárias e do tempo. Ou seja

r_i = r_i(q_1, q_2, ..., q_n, t) \qquad \qquad (4)

Por exemplo, no sistema da figura 1, as posições de m_1 e m_2 dependem da \theta_1 e \theta_2, então

\begin{aligned} r_1 =& r_1(\theta_1, t)\\ r_2 =& r_2(\theta_2, t). \end{aligned}

Há exemplos que ilustram melhor outras características das coordenadas generalizadas e há discussões interessantes que surgem a partir disso – como a ideia de grau de liberdade -, mas isso fica para os livros-texto. A ideia é explorar as (3) e (4) visando algum resultado novo.

Pode-se reescrever a (3) em termos da posição r_i

\begin{aligned} \sum_{i} (F_{i}^{e} - \dot{p}_i) \cdot \delta r_i &= 0 \\ \sum_{i} \left[ F_{i}^{e} - \frac{d}{dt} \left(m \frac{dr_i}{dt} \right) \right] \cdot \delta r_i &= 0 \end{aligned}

mas, dada uma posição

r_i = r_i(q_1, q_2, ..., q_n, t) \nonumber

invocando a definição de derivada total é imediato que

\frac{d r_i}{d t} r_i = \frac{\partial r_i}{\partial q_1}\frac{d q_1}{dt} + \frac{\partial r_i}{\partial q_2}\frac{d q_2}{dt} + ... + \frac{\partial r_i}{\partial q_n}\frac{d q_n}{dt} + \frac{\partial r_i}{\partial t}

que pode ser escrito como

\sum_{k}\frac{\partial r_i}{\partial q_k}\frac{d q_k}{d t} + \frac{\partial r_i}{\partial t} \equiv v_i. \qquad \qquad (5)

Portanto

\dot{p_i} \equiv m \dot{v}_i = m \frac{d}{dt}\left( \sum_{k}\frac{\partial r_i}{\partial q_k}\frac{d q_k}{d t} + \frac{\partial r_i}{\partial t} \right) \qquad \qquad (6)

Por outro lado, também é possível reescrever \delta r_i como

\delta r_i = \frac{\partial r_i}{\partial q_1}\delta q_1 + \frac{\partial r_i}{\partial q_2}\delta q_2 + ... + \frac{\partial r_i}{\partial q_n}\delta q_n = \sum_{j}\frac{\partial r_i}{\partial q_j}\delta q_j \qquad \qquad (7)

Não há algo como “\frac{\partial r_i}{\partial t}” ou ainda um “\delta t” pois o tempo é “congelado”, digamos, ao se considerar um deslocamento virtual.

Usando (6) e (7) na (3)

\begin{aligned} \sum_{i} \left[ F_{i}^{e} - \dot{p}_i \right] \cdot \delta r_i &= 0 \\ \sum_{i} \left[ F_{i}^{e} - m_i \frac{d}{dt}\left( \sum_{k}\frac{\partial r_i}{\partial q_k}\frac{d q_k}{d t} + \frac{\partial r_i}{\partial t} \right) \right] \cdot \sum_{j}\frac{\partial r_i}{\partial q_j}\delta q_j &= 0\\ \sum_{i} \left[ F_{i}^{e} \cdot \sum_{j}\frac{\partial r_i}{\partial q_j}\delta q_j - m_i \frac{d}{dt}\left( \sum_{k}\frac{\partial r_i}{\partial q_k}\frac{d q_k}{d t} + \frac{\partial r_i}{\partial t} \right) \cdot \sum_{j}\frac{\partial r_i}{\partial q_j}\delta q_j \right] &= 0\\ \sum_{j} \left( \sum_{i} F_{i}^{e} \cdot \frac{\partial r_i}{\partial q_j} \right)\delta q_j - \sum_{i} \left[ m_i \frac{d}{dt}\left( \sum_{k}\frac{\partial r_i}{\partial q_k}\frac{d q_k}{d t} + \frac{\partial r_i}{\partial t} \right) \cdot \sum_{j}\frac{\partial r_i}{\partial q_j}\delta q_j \right] &= 0\\ \sum_{j}Q_{j}\delta q_{j} - \sum_{i} \dot{p}_i \cdot \delta r_i &= 0 \end{aligned}

Onde

Q_{j} \equiv \sum_{i} F_{i}^{e} \cdot \frac{\partial r_i}{\partial q_j} \qquad \qquad (8)

é a chamada força generalizada. Para obter algo computacionalmente útil disso é preciso, em primeiro lugar, reescrever o segundo termo da última igualdade de forma diferente

\begin{aligned} & \sum_{i} \dot{p}_i \cdot \delta r_i\\ =& \sum_{i} \left[ m_i\ddot{r}_i \cdot \delta r_i + \left( m_i \dot{r}_i \cdot \frac{d}{dt}\delta r_{i} - m_i \dot{r}_i \cdot \frac{d}{dt}\delta r_{i} \right) \right]\\ =&\sum_{i} \left[ \frac{d}{dt} \left( m_i\dot{r}_i \cdot \delta r_i \right) - m_i \dot{r}_i \cdot \frac{d}{dt}\delta r_{i} \right]\\ =&\sum_{i} \left[ \frac{d}{dt} \left( m_i\dot{r}_i \cdot \sum_{j}\frac{\partial r_i}{\partial q_j}\delta q_j \right) - m_i \dot{r}_i\frac{d}{dt} \cdot \sum_{j}\frac{\partial r_i}{\partial q_j}\delta q_j \right]. \end{aligned}

O passo seguinte é reescrever explorar (5):

\begin{aligned} v_i =& \sum_{k} \frac{\partial r_i}{\partial q_k}\frac{d q_k}{d t} + \frac{\partial r_i}{\partial t}\\ =& \sum_{k} \frac{\partial r_i}{\partial q_k}\dot{q}_j + \frac{\partial r_i}{\partial t}\\ \Rightarrow & \frac{\partial v_i}{\partial \dot{q}_j} = \frac{\partial r_i}{\partial q_j}. \end{aligned}

Essa última linha pode não ser trivial, mas fica clara estudando um exemplo qualquer: imagine um sistema com 3 partículas, então a velocidade de uma delas (por exemplo a “1”)

v_1 = \frac{\partial r_1}{\partial q_1}\dot{q}_1 + \frac{\partial r_1}{\partial q_2}\dot{q}_2 + \frac{\partial r_1}{\partial q_3}\dot{q}_3 + \frac{\partial r_1}{\partial t} \nonumber

Então, diferenciando com relação a alguma das coordenadas generalizadas (por exemplo a “2”):

\frac{\partial v_1}{\partial \dot{q}_2} = \frac{\partial r_1}{\partial q_2}. \nonumber

Daí nota-se que \dot{q}_j passa a ser tratada como uma variável qualquer.

Por último, vale lembrar que apesar de não estar explícito, todas essas operações são vetores – os produtos escalares não estão aí por acaso. Então será conveniente fazer uso da seguinte propriedade vetorial:

\frac{d}{dx}|\textbf{u}|^2 = \frac{d}{dx}(\textbf{u} \cdot \textbf{u}) = \frac{d \textbf{u}}{dx} \cdot \textbf{u} + \textbf{u} \cdot \frac{d \textbf{u}}{dx} = 2 \textbf{u} \cdot \frac{d \textbf{u}}{dx}

Finalmente, usando as identidades acima, segue que

\begin{aligned} \sum_{j}Q_{j}\delta q_{j} - \sum_{i} \dot{p}_i \cdot \delta r_i &= 0\\ \sum_{j}Q_{j}\delta q_{j} - \sum_{j} \left[ \frac{d}{dt} \left( m_i\dot{r}_i \cdot \sum_{i}\frac{\partial r_i}{\partial q_j}\delta q_j \right) - m_i \dot{r}_i \cdot \frac{d}{dt} \sum_{i}\frac{\partial r_i}{\partial q_j}\delta q_j \right] &= 0\\ \sum_{j}Q_{j}\delta q_{j} - \sum_{j} \sum_{i} \left[ \frac{d}{dt} m_i \left(\dot{r}_i \cdot \frac{\partial \dot{r}_i}{\partial \dot{q}_j} \right) - m_i \dot{r}_i \cdot \frac{\partial \dot{r}_i}{\partial q_j} \right] \delta q_j &= 0\\ \sum_{j}Q_{j}\delta q_{j} - \sum_{j} \left[ \frac{d}{dt} \frac{\partial}{\partial \dot{q}_j} \sum_{i} \frac{m_i \dot{r}_i^2}{2} - \frac{\partial}{\partial q_j} \sum_{i} \frac{m_i \dot{r}_i^2}{2} \right] \delta q_j &= &0\\ \sum_{j} \left[\frac{d}{dt} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_j} - \frac{\partial T}{\partial q_j} - Q_{j} \right] \delta q_j &= 0\\ \end{aligned}

Onde T é a energia cinética. Se a força F_i^{e} de (8) for derivada de um potencial

V = V(r_1, r_2, ..., r_n, t) \nonumber

tal que

F_i^{e} = -\nabla V \nonumber

é possível mostrar que

Q_j = - \frac{\partial V}{\partial q_j}.

Como V é função apenas das coordenadas generalizadas, não há efeito nenhum em diferenciá-lo em relação às velocidades generalizadas, portanto é possível reescrever

\sum_{j} \left[\frac{d}{dt} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_j} - \frac{\partial T}{\partial q_j} - Q_{j} \right] \delta q_j =0

como

\sum_{j} \left[\frac{d}{dt} \frac{\partial (T - V)}{\partial \dot{q}_j} - \frac{\partial (T - V)}{\partial q_j} \right] \delta q_j =0.

Pelos mesmos argumentos do exemplo do meio-cilindro, a igualdade acima será satisfeita se

\frac{d}{dt} \frac{\partial (T - V)}{\partial \dot{q}_j} - \frac{\partial (T - V)}{\partial q_j} = 0.

Então, definindo o lagrangiano

\mathcal{L} \equiv T-V,

surge a célebre Equação de Euler-Lagrange

\boxed{ \quad \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_j} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_j} = 0 \quad}. \qquad \qquad (9)

A (9) é o ponto central do formalismo lagrangiano. Todo sistema que satisfaz as hipóteses feitas até aqui tem seu movimento descrito por essa equação. De fato, algumas dessas hipóteses foram artifícios para chegar na equação mais rapidamente; na prática o a (9) é bem geral.
Vale a pena relembrar: há outras rotas até ela; historicamente houve muita gente trabalhando com todas essas ideias então é natural que haja muitas formas de chegar nesse resultado.

A partir desse ponto há muita coisa a ser comentada, mostrada e explorada, mas talvez seja melhor deixar essa missão para os livros-texto novamente. O que soa interessante para esse texto é trocar toda essa discussão por exemplos.

O primeiro exemplo padrão é mostrar que é possível recuperar a (1) a partir da (9). A maioria dos livros sobre mecânica vai ter isso.

Como segundo e terceiro exemplos seria interessante, primeiro ver que ambas as abordagens, newtoniana e lagrangiana, chegam nas mesmas equações de movimento; em seguida ver um problema que não pode ser tratado tão facilmente pela abordagem newtoniana, sendo resolvido pelo formalismo lagrangiano.

Antes de avançar é fundamental perceber que desde o ensino médio o objetivo da mecânica é lidar com o movimento. “Estática”, “trabalho”, “torque”, “empuxo”, etc, são tópicos associados ao movimento dos corpos. Então pode-se dizer que, na prática, as leis de Newton sempre serviram para se obter equações de movimento. Absolutamente a mesma ideia se aplica à equação de Euler-Lagrange. Então nos exemplos abaixo a pergunta a ser respondida é sempre a mesma: “quais são as equações que descrevem o movimento o sistema?”


Exemplo 2

diagrama-mec1-oscilador

A figura 2 representa um oscilador harmônico. O tratamento newtoniano consistiria em analisar as forças que atuam na massa m.

De forma resumida: em x há apenas a força devido à mola de constante k, dada pela lei de Hooke

F = - kx.

Então por (1)

m\frac{d^2 x}{dt} = -kx. \qquad \qquad (10)

Uma solução geral de (10) é

x(t) = A cos \left( \sqrt{\frac{k}{m}}t + \phi \right)

onde as constantes A e \phi são necessárias estão relacionadas às condições iniciais do sistema.

Agora pelo tratamento lagrangiano o primeiro passo é construir \mathcal{L}. Pela definição de energia cinética

T \equiv \frac{1}{2}m\dot{x}^2.

O potencial nesse caso é a energia potencial da mola, dada por

V = \frac{1}{2} k x^2,

então

\mathcal{L} = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 - \frac{1}{2} k x^2

e a (9) pode ser reescrita como

\frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 0

então

\begin{aligned} \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} &= \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} \\ \frac{d}{dt} (m\dot{x}) &= -kx \\ m\ddot{x} &= -kx \end{aligned}

essa última linha é igual à (10), então é claro que a solução é a mesma:

\boxed{ x(t) = A cos \left( \sqrt{\frac{k}{m}}t + \phi \right) }


Exemplo 3

diagrama-mec1-barra

Uma barra de comprimento R, com uma massa m em uma das extremidades pode se mover na direção angular – ou seja, se soltar a barra a um ângulo \theta em relação à horizontal, ela tende a formar ângulos cada vez menores com a horizontal.
Finalmente, uma a outra extremidade da barra possui uma base móvel, que oscila na vertical de acordo com

z(t) = a sin (\omega t)

Esse é um caso provavelmente muito difícil de ser tratado por mecânica newtoniana. Pelo formalismo lagrangiano há pouca diferença entre esse sistema e o do exemplo 2.

Para definir a energia cinética o único trabalho é identificar a velocidade, que, sendo um vetor, em geral aponta para a vertical (z) e horizontal (x). Então, escrevendo x e z em coordenadas polares

\begin{cases} x = R cos \theta \\ z = a sin (\omega t) + R sin \theta \end{cases}

e derivando com respeito ao tempo, lembrando que R não varia com o tempo

\begin{cases} \dot{x} = -R sin \theta \dot{\theta}\\ \dot{z} = \omega a cos (\omega t) + R cos \theta \dot{\theta}. \end{cases}

Se a velocidade é um vetor, então

\begin{aligned} \textbf{v} &= v_x \hat{x} + v_z \hat{z} \\ \Rightarrow |\textbf{v}|^2 &= v_x^2 + v_z^2 \end{aligned}

portanto

\begin{aligned} T &=\frac{1}{2} m \left( R^2 sin^2 \theta \dot{\theta}^2 + a^2 \omega^2 cos^2 (\omega t) + 2 R a \omega cos (\omega t)cos \theta \dot{\theta} + R^2 cos^2 \theta \dot{\theta}^2 \right) \nonumber \\ &=\frac{1}{2} m \left( R^2 \dot{\theta}^2 + a^2 \omega^2 cos^2 (\omega t) + 2 R a \omega cos (\omega t)cos \theta \dot{\theta} \right). \end{aligned}

Com respeito à energia potencial, o único potencial presente é o gravitacional, apontando na direção z, portanto

V = m g ( a sin (\omega t) + R sin \theta ).

O lagrangiano já está construído, basta usá-lo em (9):

\begin{aligned} \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} &= \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} \nonumber \\ mR^2\ddot{\theta}-a\omega R m cos(\omega t) sin\theta \dot{\theta} - a\omega^2 R sin(\omega t)cos\theta&= -a \omega R m cos(\omega t) sin \theta \dot{\theta} - mgRcos\theta \nonumber \\ -mgRcos\theta &= mR^2\ddot{\theta} - 2a\omega^2Rmsin(\omega t)cos\theta \nonumber \\ \ddot{\theta} &= \left( \frac{a \omega^2 sin(\omega t) - g}{R} \right) cos\theta \qquad \qquad (11)\end{aligned}

Então o sistema da figura 3 se move de acordo com (11). O único inconveniente seria confirmar que é isso mesmo. A princípio, o mínimo que pode ser feito é conferir se as dimensões estão corretas:

\begin{aligned} \frac{[A]}{[T]^2} &= \frac{[L] [T]^{-2} - ([L] [T]^{-2})}{[L]} \\ \frac{[A]}{[T]^2} &= \frac{1}{[T]^{2}} \checkmark \end{aligned}

Tudo em ordem, já que [A] é unidade de ângulo, que é adimensional. Então claro que isso não serve como atestado de que a (11) de fato descreve o movimento do sistema; mas já indica que as manipulações algébricas foram bem-sucedidas.

Contudo não é o fim da linha. A (11) não convida à busca de uma solução por métodos analíticos, entretanto há uma alternativa que sempre vai dar certo: o tratamento numérico. A ideia básica desse tipo de análise é usar a equação de movimento em algoritmos  de diferenciação e integração a fim de plotar gráficos e ver se a cara deles parece compatível com o esperado.

(detalhes)

Por motivos cosméticos fiz um “simulador” no lugar de um “graficador”. Ambos possuiriam códigos idênticos, exceto pelas linhas que desenham e movem as figuras no simulador.

A princípio parece que a equação descreve bem o movimento esperado. Optei por retirar a barra para simplificar o código. Como não há muita certeza do que deveria acontecer em geral, é interessante testar alguns casos limites, como por exemplo, ângulo inicial igual a 90 graus e velocidade angular inicial nula:

Aparentemente tudo certo ainda. Mais um teste: ângulo inicial igual a 0 grau, velocidade angular inicial nula e frequência da base nula. Sem a oscilação da base o sistema deveria se comportar como um pêndulo.

Então ambas, análise dimensional e análise numérica, estão indicando que a equação obtida é razoável.


Os exemplos acima foram escolhidos para evidenciar que a abordagem lagrangiana é equivalente à newtoniana, e principalmente que, pelo custo de uma longa cadeia de abstrações, a análise de sistemas muito complicados é absurdamente simplificada. Como dizia um professor de mecânica:

“A equação de Euler-Lagrange é uma máquina de gerar equações do movimento. Você identifica as coordenadas, joga nela e daí não precisa nem pensar mais.”

(continuação)

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2 comentários sobre “Mecânica Clássica

  1. Olá. Estou iniciando um projeto que consiste em criar uma espécie de acervo de Física Geral, a fim de reunir materiais interessantes sobre o tema de maneira organizada para o aluno autodidata interessado. Embora ainda se encontre bem nos primórdios, estou reunindo materiais e críticas, caso tenha interesse em contribuir, o esqueleto do plano de estudos se encontra aqui: http://www.ecceprimate.wordpress.com

    Curtido por 1 pessoa

    1. Olá. Dei uma olhada no plano de estudos. Parece boa a ideia! Eu já usei o UPNG pra tentar fazer algo muito parecido com o seu projeto, mas mudei a pegada depois de um tempo. Vou te enviar uma mensagem por e-mail.

      Curtir

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