Equações Diferenciais

No final do semestre passado as equações diferenciais ganharam protagonismo. Em Cálculo III foi o tópico final, em Física III apareciam no estudo dos circuitos e apesar de não terem sido estudadas em Álgebra Linear, o livro adotado na disciplina tem um ou dois capítulos sobre o assunto.
A princípio eu já tinha estudado equações diferenciais no segundo semestre de 2014 então pensava que sabia praticamente tudo que tinha pra se saber sobre isso.

eqdif01

Claro que não demorou pra eu descobrir que nem só de equações separáveis, exatas, de Bernoulli, Ricatti e Lagrange se vive. Existem terras além desse horizonte e o objetivo desse texto é mostrar pelo menos algumas de suas praias.

No fundo quero registrar alguns métodos mais interessantes que aprendi nesse semestre, que servem pra resolver uma certa classe de equações diferenciais de ordem n, então vou pular todos aqueles métodos pra resolver casos particulares de ordem 1 ou 2, como os métodos do fator integrante e da mudança de variável.

Visto que não sou da seita que cultua o rigor matemático, demonstrações e aquela coisa toda, não vou mostrar de onde todas as coisas surgem nem porque são verdade. Apesar disso espero que o texto fique organizado e faça sentido pra quem resolver se aventurar por ele.


equação diferencial exata

Uma equação diferencial da forma

I(x,y)dx + J(x,y)dy=0

é exata se existe uma função \phi(x,y) – chamada função “potencial” – tal que

\begin{aligned} \frac{\partial \phi}{\partial x}&=I(x,y)\\ \frac{\partial \phi}{\partial y}&=J(x,y). \end{aligned}

Lembrando que, dada a função z(x,y), o Teorema de Schwarz garante que

\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x},

segue que, se a equação diferencial inicial é exata, então

\frac{\partial I}{\partial y}=\frac{\partial J}{\partial x}.

Para ilustrar considere

\left(\frac{x+y}{1+y^2}\right)y'=-(x+arctan(y)),

e observe que

\begin{aligned} \left(\frac{x+y}{1+y^2}\right)y'&=-(x+arctan(y))\\ \left(\frac{x+y}{1+y^2}\right)\frac{dy}{dx}&=-(x+arctan(y))\\ \left(\frac{x+y}{1+y^2}\right)dy\, &+\, (x+arctan(y))dx =0.\\ \end{aligned}

Lembrando que qualquer equação diferencial linear de primeira ordem pode ser escrita assim, o que não implica que ela é exata. Nesse caso é preciso verificar. Veja que

\begin{aligned} I(x,y)&=(x+arctan(y))\\ J(x,y)&=\left(\frac{x+y}{1+y^2}\right). \end{aligned}

Então

\frac{\partial I}{\partial y}=\frac{1}{1+y^2}=\frac{\partial J}{\partial x}

e a função

\phi(x,y)=\frac{x^2}{2}+x\,arctan(y)+\frac{1}{2}ln(1+y^2)

satisfaz a condição necessária para ser função potencial da equação deste exemplo.

É conveniente conhecer esse tipo de equação diferencial porque algumas de suas propriedades são usadas no estudo das soluções de equações diferenciais lineares.


equação diferencial linear de primeira ordem

Além da equação diferencial linear

y' + p(x)\, y=q(x)

possuir solução geral, ela aparece em dois métodos de resolução, então seria legal saber como encontrar soluções pra ela. Pra isso é conveniente escrevê-la da seguinte forma

dy + [p(x)y-q(x)]dx=0.

Apesar de ser tentador classificar a equação acima como exata, ninguém sabe a princípio se é ou não.
A ideia por trás da obtenção da solução geral é “forçá-la” a ser exata. Para isso se multiplica uma função v(x) em ambos os lados da igualdade

v(x)[p(x)y - q(x)]dx + v(x)dy=0

e se procura as condições que tornam a equação exata.

Dessa equação se obtém que

\int v(x)p(x)ydx - \int v(x)q(x)dx + \int v(x)dy=C_1,

Mas se a equação anterior for exata, vai ser verdade que

\frac{\partial}{\partial y}[v(x)p(x)y - v(x)q(x)]=\frac{\partial}{\partial x}v(x)

Ou seja

\begin{aligned} v(x)p(x) &=\frac{dv}{dx}\\ p\,dx &= \frac{dv}{v} \end{aligned}

Que leva a

v(x)=e^{( \int p(x)\,dx )}.

Assim

\begin{aligned} \int v(x)p(x)ydx - \int v(x)q(x)dx + \int v(x)dy&=C\\ \int v'(x)ydx - \int v(x)q(x)dx + \int v(x)dy&=C\\ v(x)y - \int v(x)q(x)dx + v(x)y&=C\\ v(x)y - \int v(x)q(x)dx&=K\\ y\,e^{( \int p(x)\,dx )} - \int e^{( \int p(x)\,dx )}q(x)dx&=K \end{aligned}

Então

y(x) = K\,e^{ -\int p(x)\,dx} + e^{ -\int p(x)\,dx}\int e^{ \int p(x)\,dx }q(x)dx

é solução da equação diferencial linear.
Para ilustrar considere

y'-y=e^{2x}.

Nesse caso

\begin{aligned} p(x) &=-1\\ q(x) &= e^{2x}, \end{aligned}

Então

\begin{aligned} y(x) &= K\,e^{ -\int p(x)\,dx} + e^{ -\int p(x)\,dx}\int e^{ \int p(x)\,dx }q(x)dx\\ y(x) &= K\,e^{ \int dx} + e^{ \int dx}\int e^{ -\int dx }e^{2x}dx\\ y(x) &= K\,e^{x} + e^{x}\int e^{x}dx\\ y(x) &= K\,e^{x} + e^{2x}\\ \end{aligned}

é solução da equação diferencial inicial.
A essa altura é interessante citar a ideia de operador diferencial.


operador diferencial

A maneira como eu entendo operadores é a seguinte: operadores são coisas que você gruda em outras coisas para aplicar alguma regra nelas.
Um bom exemplo de operador é o nabla cujo símbolo é \nabla. A grosso modo pode-se dizer que, no R^3

\nabla \equiv \left( \frac{\partial}{\partial x}\hat{x} + \frac{\partial}{\partial y}\hat{y} + \frac{\partial}{\partial z}\hat{z}\right).

Assim, sendo a função

f(x,y,z)=cos(xy) + 5z^2x

pode-se aplicar o operador através de uma multiplicação, por exemplo

\begin{aligned} \nabla f &= \left( \frac{\partial}{\partial x}\hat{x} + \frac{\partial}{\partial y}\hat{y} + \frac{\partial}{\partial z}\hat{z}\right)f\\ \nabla f &= \frac{\partial f}{\partial x}\hat{x} + \frac{\partial f}{\partial y}\hat{y} + \frac{\partial f}{\partial z}\hat{z}\\ \nabla f &= [-sin(xy)y+5z^2]\;\hat{x} + [-sin(xy)x]\;\hat{y} + [10xz]\;\hat{z}\\ \nabla f &= \left(-sin(xy)y+5z^2,\;\; -sin(xy)x,\;\; 10xz\right), \end{aligned}

obtendo-se o gradiente de f.
Observa-se aí que o gradiente de uma função escalar é uma função vetorial. É possível “combinar” o nabla à funções escalares e vetoriais de outras formas de modo a se obter coisas além do gradiente, como por exemplo, o divergente, o rotacional e o laplaciano.

Fica claro então que basta alguma regra associada a algum tipo de objeto matemático para se criar um operador. Além disso essa regra pode ser complicada de se escrever, então do ponto de vista estético o uso de operadores tende a deixar as coisas mais claras.

Dito isso tudo segue uma definição, digamos, do tal operador diferencial:

D^n_t \equiv \frac{d^n}{dt^n}.

Então quando aplico o operador diferencial D^n_t em alguma função escalar, obtenho a n-ésima derivada com respeito à variável t dessa função.
Como tudo até aqui tem sido dependente da variável x é conveniente simplificar a coisa para:

D^n \equiv \frac{d^n}{dx^n}.

Então na prática é o seguinte:

D^ny \equiv \frac{d^ny}{dx^n},

em outras palavras: o produto de um operador elevado à n por uma função se obtém a n-ésima derivada dessa função. Então ao invés de se escrever

\frac{d^6y}{dx^6}+2\frac{d^5y}{dx^5}-2\frac{d^3}{dx^3}-\frac{dy}{dx}+22y=0

escreve-se

(D^6+2D^5-2D^3-D+22)y=0.

Eventualmente pode ser interessante definir D^6+2D^5-D^3-D+22 como um L de modo que se possa escrever a equação acima como

L(y)=0.

Então, pra concluir essa primeira parte, poderia-se definir uma L tal que

L=D-1

e aí reescrever aquele exemplo da equação diferencial linear como

L(y)=e^{2x}.

Segue agora o primeiro método pra resolver alguma coisa mesmo, por enquanto tudo não passou de um longo prelúdio.


equação diferencial de segunda ordem

A equação diferencial de segunda ordem homogênea

y''+ay'+by=0

também tem solução geral. Para se chegar nela é interessante estudar separadamente as soluções de cada forma que essa equação assume.

caso 1: a=b=0

A solução geral desse caso se obtém por uma sequência de integrações:

\begin{aligned} y'' &= 0\\ y' &=C_1\\ y &= C_1x + C_2.\\ \end{aligned}

caso 2: a=0, b<0

Nesse caso um primeiro detalhe é que qualquer número ao quadrado pode ser escrito como um certo -k^2. Então

\begin{aligned} y'' +by&= 0\\ y'' &=-by\\ y'' &= k^2y.\\ \end{aligned}

Nesse ponto não tem jeito, tem que procurar alguma função que satisfaça a igualdade acima. Procurando, pensando e inspecionando um pouco conclui-se que duas funções são soluções dessa equação:

y=e^{kx}

e

y=e^{-kx}.

O princípio da superposição garante que a combinação linear de soluções de equações diferenciais lineares também são soluções, então a solução geral desse caso é

y=C_1e^{kx}+C_2e^{-kx}.

caso 3: a=0, b>0

Analogamente ao caso anterior, qualquer número positivo pode ser escrito como um certo k^2, então

\begin{aligned} y'' +by&= 0\\ y'' &=-by\\ y'' &= -k^2y.\\ \end{aligned}

Novamente, depois de procurar, pensar e inspecionar conclui-se que

y=cos(kx)

e

y=sin(kx)

são soluções. Novamente pelo princípio da superposição se obtém a solução geral

y=C_1cos(kx)+C_2sin(kx).

caso 4: a\neq 0, b\neq0

Esse é o caso mais geral. A motivação do raciocínio que conduz até a solução geral é querer reduzir essa forma em uma das três anteriores, já que suas soluções já são conhecidas. Para isso se usa uma variação de uma estratégia recorrente na tentativa de resolução de equações diferenciais como por exemplo

\frac{dy}{dx}=\frac{y-x}{y+x}

que é fazer uma substituição do tipo y=ux. No caso a escolha será y=uv. Dessa substituição segue que

\begin{aligned} y'&=u'v+uv'\\ y''&=u''v+2u'v'+uv''. \end{aligned}

Então

\begin{aligned} y''+ay'+b&=0\\ u''v+2u'v'+uv'' + a(u'v+uv')+buv&=0\\ (v''+av'+bv)u+(2v'+av)u' + vu''&=0.\\ \end{aligned}

Para que a equação acima assuma alguma forma cuja solução seja conhecida é preciso que o termo com u suma. Para isso

\begin{aligned} 2v'&=-av\\ \frac{2}{a} \left( \frac{v'}{v} \right) &= -1\\ \frac{2}{a} ln(v) &= -x + C\\ v &= Ke^{-\frac{ax}{2}} \end{aligned}

Então qualquer v com essa forma faz o trabalho de eliminar o u'. Agora sabe-se que

v'=-\frac{a}{2}v

e

v''=\frac{a^2}{4}v,

então pode-se reescrever a relação obtida anteriormente da seguinte forma

\begin{aligned} y''+ay'+b&=0\\ (v''+av'+bv)u+(2v'+av)u' + vu''&=0\\ \left( \frac{a^2v}{4}-\frac{a^2v}{2}+bv \right)u +v''u&=0\\ \left( u''-\frac{4b-a^2}{4}u \right)v&=0 \end{aligned}

Lembrando que v nunca vai ser igual a zero segue que a solução da equação diferencial inicial será

y=e^{-\frac{ax}{2}}u,

onde u satisfaz

u''-\frac{4b-a^2}{4}u = 0,

que é exatamente a forma estudada nos casos anteriores! Então assim como as soluções depediam do sinal de b, agora a natureza da solução da equação diferencial inicial depende do sinal do numerador de

d=\frac{4b-a^2}{4}.

A união de tudo que foi dito até agora leva ao seguinte: a solução da equação diferencial

y''+ay'+by=0

tem forma

y=e^{-\frac{a}{2}x}\left( C_1 u_1 + C_2 u_2\right)

onde a natureza de u_1 e u_2 é determinada pelo sinal de d de modo que

\begin{aligned} d=0 & \Rightarrow & u_1&=1 &u_2 &=x &\\ d0 & \Rightarrow & u_1&=cos(kx) &u_2 &=sin(kx)& \;\; (d=k^2)\\ \end{aligned}

A essa altura seria interessante mostrar esse resultado funcionando e geralmente é legal fazer isso através do estudo de circuitos elétricos, mas vou pular essa parte. Qualquer “y” – 13y’ + 7y = 0″ no Wolfram Aplha já retorna a solução correta

y(x) = C_1 e^{-\frac{1}{2} \left( \sqrt{141}-13 \right) x}+C_2 e^{\frac{1}{2} \left( 13 + \sqrt{141}\right) x}.

Isso encerra essa segunda parte do passeio. O resto do texto provavelmente terá outras três partes: a próxima tratará do uso desse último resultado na resolução de equações diferenciais de ordem n, a seguinte tratará de alguns métodos de encontrar soluções particulares de equações diferenciais não homogêneas e por último fica o registro de um método envolvendo matrizes.

A SER CONTINUADO…

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