Memórias

Costumo pensar em Cálculo II como uma Guerra Santa pessoal, onde Hades e Atena foi a mesma pessoa e a minha armadura era feita argila.
Dentre todas as emoções talvez a segunda maior delas foi a terceira questão da terceira e última prova.

O cenário:

Eu precisava tirar algo como 8.9 para não ir para a REC (a maior de todas as emoções do Cálculo II). A prova tinha três questões, as duas primeiras valendo 3.0 e a última valendo 4.0.
Tendo certeza absoluta de ter feito as duas primeiras corretamente, já ensaiando o suspiro de alívio, fui para a última faltando cerca de uma hora para o fim da prova. Nem precisava acertar a última inteira, o 6.0 já estava garantido na minha cabeça.

O enunciado:

3. [Valor: 4.0 pontos] Considere a função A(x,y) : [-1,0] \times [0,1] \rightarrow R definida assim: A(0,0)=0 e, se (x_0,y_0) está no domínio de A(x,y) com x_0 < y_0, então A(x_0,y_0) é a área debaixo do gráfico de f(x)=1-x^2 e acima da reta que une os pontos (x_0,f(x_0)) e (y_0,f(y_0)), como mostra a figura abaixo (que no caso é a imagem destacada logo acima, e que eu resolvi substituir por um gif aqui).

p3q3

(a) Dê uma expressão, a mais simples possível, para A(x,y).
.
.
.
(e) Ache os pontos de máximo e de mínimo globais de A(x,y) sobre o conjunto B do item anterior.

O que houve:

Fiquei 80% do resto do tempo no item a dessa questão, sem sucesso. No final da prova descobri que dava pra pensar na área como um simples trapézio e a expressão saía fácil!
Pior(!): em um ato de desespero usei geometria analítica para encontrar a tal expressão. Contudo precisaria integrar uma coisa e a expressão já estava desanimadora o suficiente. Então desisti da ideia e fiquei tentando ter outras.
Pior ainda(!): esta ideia abandonada pelas metades levava ao resultado certo! A integral ficava grande, mas depois de simplificar as coisas se ajeitavam.

q-024

No fim das contas fui pra REC e passei, dramaticamente, mas passei. Mas essa questão ficou marcada como “a questão que me levou pra REC”.
Dias depois da terceira prova eu resolvi levar a minha ideia até o final e confirmei que dava pra chegar na expressão. Então vou registrar o raciocínio aqui.

Identificando a reta que corta 1-x^2 como R(x,y), a função procurada é

A(x_0,y_0)=\int_{x_0}^{y_0}[1-x^2]-R(x,y) dx

e identificando os pontos de intersecção como

\begin{aligned} Q&=(x_0,f(x_0))\\ P&=(y_0,f(y_0)) \end{aligned}

Pode-se escrever uma equação vetorial para R(x,y)

\begin{aligned} (X,Y)&=Q+\lambda\vec{v}\\ (X,Y)&=Q+\lambda)(P-Q)\\ (X,Y)&=(x_0,1-x_0^2)+\lambda(y_0-x_0,(1-y_0^2)-(1-x_0^2))\\ (X,Y)&=(x_0,1-x_0^2)+\lambda(y_0-x_0,x_0^2-y_0^2)\\ \end{aligned}

Então

\begin{aligned} X&=x_0+\lambda(y_0-x_0)\\ e&\\ Y&=1-x_0^2 + \lambda(x_0^2-y_0^2) \end{aligned}

Igualando os \lambda

\frac{X-x_0}{y_0-x_0}=\frac{Y-1+x_0^2}{x_0^2-y_0^2}

Escrevendo Y em função de X se obtém

Y=-X(x_0+y_0)+x_0 y_0 +1\;\;\;\equiv\;\;\;\; R(x,y)

Então (detalhadamente)

\begin{aligned} A(x_0,y_0)&=\int_{x_0}^{y_0}[1-x^2]-R(x,y) dx\\ &=\int_{x_0}^{y_0}[1-X^2]-[-X(x_0+y_0)+x_0 y_0 +1] dX\\ &=\left[ X-\frac{X^3}{3}+\frac{X^2}{2}(x_0+y_0)-X(x_0 y_0) - X\right]_{x_0}^{y_0}\\ &=\frac{1}{6}\left[ 6X-2X^3+3X^2(x_0+y_0)-6X(x_0 y_0) - 6X\right]_{x_0}^{y_0}\\ &=\frac{1}{6}\left[ 6X-2X^3+3X^2(x_0+y_0)-6X(x_0 y_0) - 6X\right]_{x_0}^{y_0}\\ &=\frac{1}{6}\left( -2y_0^3 + 3y_0^2(x_0+y_0) - 6y_0(x_0 y_0) +2x_0^3 - 3x_0^2(x_0+y_0) + 6x_0(x_0 y_0) \right)\\ &=\frac{1}{6}\left( -2y_0^3 + 3y_0^2x_0+3y_0^3 - 6y_0^2x_0 + 2x_0^3 - 3x_0^3-3x_0^2y_0 + 6x_0^2y_0 \right)\\ &=\frac{1}{6}\left( y_0^3 - 3y_0^2x_0+3y_0 x_0^2 -x_0^3 \right)\\ A(x,y)&=\frac{(y-x)^3}{6} \end{aligned}

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3 comentários sobre “Memórias

    1. Tenho esperanças de que dessa vez possamos lutar com armaduras de ouro, que diga-se de passagem, foram convenientemente confeccionadas para serem exibidas justamente no mês das provas finais (http://br.ign.com/cavaleiros-do-zodiaco/22842/news/japao-tera-exposicao-de-armaduras-em-tamanho-real)

      Agora resta apenas aprender aquele método maroto do Aiolia de fazer a armadura vir via wireless, que ele usou no primeiro episódio de Soul of Gold.

      Curtir

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