Soma de Riemann de Polinômios

Recentemente eu passei pela experiência de ficar de recuperação em Cálculo II, então eu passei o mês de janeiro estudando para a prova e ao longo do processo alguns problemas me prenderam mais que outros, não somente por serem um pouco mais complicados, mas também por serem interessantes.

Felizmente tudo milagrosamente deu certo e agora eu penso em passar o resto da semana registrando alguns deles (que no fundo são dois ou três problemas ao todo). O primeiro é especial, porque foi o primeiro problema do curso que eu tentei resolver e até o momento eu não sei se a maneira como eu concluo as coisas está correta, tanto que há pouco tempo eu fiz uma pergunta sobre isso no Mathematics Stack Exchange, mas ninguém respondeu até agora (talvez porque eu tenha errado a expansão colocando o expoente no lugar das equações de combinação). O enunciado seria algo como

Calcule a integral de f(x)=x^{\alpha} usando Soma de Riemann

Lembrando que dada a função f(x)=x^{\alpha}, então S(f,P,c_{i}) é a Soma de Riemann de f, com respeito à partição P do intervalo [a,b] e à escolha c_{i}, e tem a seguinte forma

\sum_{i=1}^{n}f(c_{i})\Delta x_{i}

Em particular

\lim_{max\Delta x_{i} \to 0}\,\, \sum_{i=1}^{n}f(c_{i})\Delta x_{i} = \int_{a}^{b}f(x)dx

Então, como eu disse na pergunta, meu professor ensinou uma magia para lidar com esse tipo de problema. A dica foi: sendo \alpha o grau do polinômio, então pode-se expandir o termo \Delta x_{i} e elevar à (\alpha + 1)-ésima potência, de modo que se obtém duas possibilidades

x_{i}^{\alpha +1}=\Delta x_{i}^{\alpha+1}+C_{(\alpha+1)}^{1}\Delta x_{i}^{\alpha}x_{i-1}+C_{(\alpha+1)}^{2}\Delta x_{i}^{\alpha-1}x_{i-1}^{2}+...+C_{(\alpha+1)}^{\alpha}\Delta x_{i}x_{i-1}^{\alpha}+C_{(\alpha+1)}^{(\alpha+1)}x_{i-1}^{\alpha+1}

E

x_{i-1}^{\alpha +1}=(-\Delta x_{i})^{\alpha+1}+C_{(\alpha+1)}^{1}(-\Delta x_{i})^{\alpha}x_{i}+C_{(\alpha+1)}^{2}(-\Delta x_{i})^{\alpha-1}x_{i}^{2}+...+C_{(\alpha+1)}^{\alpha}(-\Delta x_{i})x_{i}^{\alpha}+C_{(\alpha+1)}^{(\alpha+1)}x_{i}^{\alpha+1}

Onde

C_{n}^{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}

Vou chamar a primeia expansão de “expansão da direita” e a de baixo de “expansão da esquerda”. Escolhendo uma das expansões a ideia é isolar o termo que possui “\Delta x_{i}^{1}“, por exemplo a primeira, é possível reescrevê-la como

(\alpha+1)x_{i-1}^{\alpha}\Delta x_{i}=x_{i}^{\alpha +1}-C_{(\alpha+1)}^{1}\Delta x_{i}^{\alpha}x_{i-1}-...-x_{i-1}^{\alpha+1}

Dividindo termo a termo por (\alpha + 1) se obtém

x_{i-1}^{\alpha}\Delta x_{i}=\frac{x_{i}^{\alpha +1}-x_{i-1}^{\alpha+1}}{(\alpha+1)} - \boxed{ \frac{\Delta x_{i}}{(\alpha+1)} \left( C_{(\alpha+1)}^{1}\Delta x_{i}^{\alpha-1}x_{i-1}+ ... \right)}

Pela natureza da expansão, como \Delta x_{i}^{1} está isolado do lado esquerdo da equação, e o termo x_{i-1}^{\alpha + 1} está presente na primeira fração, tem-se que todos os outros termos restantes têm pelo menos um “\Delta x_{i}^{1}“. Então, como

\sum_{i=1}^{n} x_{i-1}^{\alpha}\Delta x_{i}=\sum_{i=1}^{n} \frac{x_{i}^{\alpha +1}-x_{i-1}^{\alpha+1}}{(\alpha+1)} - \sum_{i=1}^{n}\frac{\Delta x_{i}}{(\alpha+1)} \left( C_{(\alpha+1)}^{1}\Delta x_{i}^{\alpha-1}x_{i-1}+ ... \right)

é equivalente a

|\sum_{i=1}^{n} x_{i-1}^{\alpha}\Delta x_{i}-\sum_{i=1}^{n} \frac{x_{i}^{\alpha +1}-x_{i-1}^{\alpha+1}}{(\alpha+1)}|=\sum_{i=1}^{n}\frac{\Delta x_{i}}{(\alpha+1)} \left( C_{(\alpha+1)}^{1}\Delta x_{i}^{\alpha-1}x_{i-1}+ ... \right)

obteria-se uma forma muito parecida com a integral de Riemann escrita como um limite, bastando apenas encontrar um real  maior que o segundo termo (que, diga-se de passagem, eu não lembro mais porque eu escrevi dessa forma, com aquela fração em evidência) para relacionar a \epsilon e passer o limite em toda a igualdade, acredito eu.

A partir desse ponto eu não tenho certeza do que fazer, afinal eu já tinha dito que até hoje não sei resolver isso. Contudo, entre o dia que eu fiz a pergunta no Mathematics Stack Exchange e hoje eu tive uma ideia. Eventualmente vou trabalhar nessa ideia e se tudo parecer razoável eu concluo o texto. Caso contrário eu deixo em aberto.

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