Coisas que oscilam

wtfwill

Vou gastar esse resto de sábado registrando algumas coisas sobre as coisas que oscilam. Um mês de Física II me transformou de um sujeito que não sabia coisa alguma sobre ondas (coisa alguma mesmo, v=\lambda f pra mim era algum tipo dogma sagrado que eu não sabia como funcionava, de onde vinha nem pra onde iria, mas tinha certeza que era daquele jeito que as coisas de fato funcionavam) em um cara abismado com a natureza das coisas.

As coisas ficaram complexas

Em Física II um número muito grande de bruxarias surgiu muito rapidamente. A começar pelo conjunto dos complexos. Pra mim esse conjunto sempre teve um ar místico, então eu não mexia com ele pra não ser amaldiçoado, mas infelizmente (ou não) problemas envolvendo oscilações harmônicas ganham um ar compacto e elegante usando tais feitiços – e na verdade com o passar dos dias eu não encontrei textos sobre oscilações que não usassem a notação complexa.
Uma vez entendidas as relações envolvendo essa camada exterior da realidade, na minha visão o exemplo mais claro de como as coisas ficam interessantes é o do oscilador amortecido e forçado. Um aparato que poderia produzir esse tipo de oscilação seria algo como

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A força F_{0}cos(\omega t) (estava difícil deixar o zero subscrito no Draw, por isso no desenho está só F) é periódica fazendo a estrutura subir e descer, o líquido do recipiente é responsável por um amortecimento (nem sempre) proporcional à velocidade devido à sua viscosidade e a mola oscila em meio a tudo isso.
No processo de tentativa de descrição do movimento dessa coisa eu vou frequentemente usar duas notações:

1. ℜ[a + ib] = a

2. a está para o conjunto R como â está para o conjunto C

Então, analisando todas as forças que atuam sobre a massa

ma=-bv-kx+F_{0}cos(\omega t)

ou

m\ddot{x} = -b \dot{x} -kx + F_{0} cos( \omega t)

m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=F_{0}cos(\omega t)

\ddot{x}+\frac{b}{m}\dot{x}+\frac{k}{m}x=\frac{F_{0}cos(\omega t)}{m}\,\,\,\,\,\,(\div m)

Existem algumas boas justificativas para escolher x=Re [\hat{x}e^{i\omega t}] como candidato a solução da equação acima, depende da fonte. Alguns lugares usam argumentos que beira o ilusionismo, outros voltam até a equação do oscilador harmônico simples (cuja solução é exatamente essa), então acho que não vale o esforço de tentar reinventar a roda, vou apenas usar esse conhecimento milenar: x=Re [\hat{x}e^{i\omega t}]. Segue então que

\dot{x}=Re [\hat{x}(i\omega )e^{i\omega t}]

\ddot{x}=Re [-\hat{x}\omega^{2}e^{i\omega t}]

Usando isso e lembrando que da relação de Euler: F_{0}cos(\omega t)=Re [\hat{F}e^{i\omega t}], segue que

-\hat{x}\omega^{2}e^{i\omega t}+\frac{b}{m}(i\omega)\hat{x}e^{i\omega t}+\frac{k}{m}\hat{x}e^{i\omega t}=\frac{\hat{F}}{m}e^{i\omega t}

\hat{x}=\frac{\hat{F}}{m\cdot [frac{k}{m}+\frac{b}{m}(i\omega )-\omega^2]}

Como \hat{F} é um número complexo, a parte real pode ser reescrito como F_{0}e^{i\alpha}. Analogamente \frac{1}{m\cdot [\frac{k}{m}+\frac{b}{m}(i\omega )-\omega^2]} pode ser escrita como Qe^{i\phi} onde ambos, F_{0}Q são reais.
Inclusive uma boa observação a essa altura é que, uma vez que o conjunto R ⊂ C, qualquer número real pode ser escrito dessa forma.

Então

\hat{x}=F_{0}e^{i\alpha}Qe^{i\phi}

Lembrando que x=Re [\hat{x}e^{i\omega t}]

x=Re [F_{0}Qe^{i(\omega t+\alpha +\phi)}]

Do harmônico simples esses termos independentes do tempo α e φ estão associados a fase da onda. A equação de movimento é essa. Nela existem duas coisas que dependem da frequência angular ω da força externa: Q e o próprio φ.

Esse produto de Q com F_{0} é justamente o que vai reger a amplitude, então vale a pena abrir e ver como se comporta.
É fácil mostrar que um número complexo z multiplicado pelo seu conjugado é igual z². Então se A\doteq F_{0}Q, segue que

A=\frac{F_{0}}{m\cdot [\frac{k}{m}+\frac{b}{m}(i\omega )-\omega^2]}

A^{2}=\frac{F_{0}}{m\cdot [\frac{k}{m}+\frac{b}{m}(i\omega )-\omega^2]}\,\times\,\frac{F_{0}}{m\cdot [\frac{k}{m}-\frac{b}{m}(i\omega )-\omega^2]}

A=\sqrt{\frac{F_{0}^{2}}{m^{2}\cdot [(\frac{k}{m}-\omega^{2})^{2}+(\frac{b}{m})^{2}\omega^{2}]}}

Essa relação já entrega fácil o que acontece quando ambas as frequências, da força externa e a natural do oscilador, se aproximam, que no caso é a situação de ressonância.
É um resultado bonito e, repito, é um ótimo exemplo pra mostrar a notação complexa em ação.

Malandragem virou pré-requisito

Uma coisa interessante pra se fazer com os conhecimentos acerca do funcionamento dos osciladores é estudar o movimento de uma corda infinita sendo balançada por algo capaz de produzir ondas harmônicas, isto é, vibrações que podem ser descritas por

y=Acos(kx-\omega t+\delta)

Algumas derivadas depois se chega na famosa equação

\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2y}{\partial t^2}

Em particular, para uma corda vibrante, v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}, onde T é a tensão aplicada e μ seria a densidade linear para o caso unidimensional.
A pessoa fica contente e decide dar uma olhada em uma onda mais complicada: o som.

Talvez seja incapacidade minha, mas eu fiquei muito incomodado com como os livros representam o caso particular de onde as equações serão derivadas. Berkeley, Moysés, Feynman e até o Sears contém diagramas onde um dado volume de matéria deslocado por uma onda sonora tem volume claramente maior que tinha antes da onda passar. Eu procurei bastante por experimentos que ilustrassem esse fenômeno e acabei não encontrando, mas o ponto é que uma relação que sai da análise dessa situação particular é suficiente pra mostrar que realmente o volume aumenta, mas isso não é deixado claro – pelo menos eu achei tudo muito nebuloso e difícil de engolir em um primeiro momento.
Fiquei com a impressão que os autores acabam dando uma de malandro e usam o resultado no ponto de partida. Veja só como eu acho que deveriam ser esses diagramas

Sem título 2

Se a priori eu não sei se existem motivos para o volume ser diferente em instantes diferentes eu deixo tudo na mesma, ora!
Agora sim dá pra tentar descobrir o que acontece com o volume, definido como o produto da área da base pela altura. No caso de um cilindro de base A, tomando Δx→0 (e talvez esse seja o argumento que permite todas as malandragens posteriores em vários livros), a variação de volume pode ser escrita da seguinte forma

\Delta V=A{[\Psi (x+\Delta x,t)-\Psi (x,t)]-[(x+\Delta x)-x]}

\Delta V=A[-\Delta x +\Psi (x+\Delta x,t)-\Psi (x,t)]

\Delta V=A\Delta x[-1+\frac{\Psi (x+\Delta x,t)-\Psi (x,t)}{\Delta x}]

\Delta V\approx A\Delta x(-1+\frac{\partial\Psi}{\partial x})

\Delta V\approx A\Delta x\frac{\partial\Psi}{\partial x}

Mas V=A\Delta x, que é o volume inicial, então

\frac{\Delta V}{V}=\frac{\partial\Psi}{\partial x}

Como \rho=\frac{m}{V} é a densidade, para uma variação de volume, a variação de densidade será

\Delta\rho=-m\frac{\Delta V}{V^2}

\Delta\rho=-\rho\frac{\Delta V}{V}

\frac{\Delta\rho}{\rho}=-\frac{\Delta V}{V}

Como \Delta\rho=\rho-\rho_{0}

\frac{\Delta V}{V}=\frac{\partial\Psi}{\partial x}=-\frac{\rho-\rho_{0}}{\rho}

Levando em conta que a variação de densidade é ínfima, pode-se aproximiar ρ à densidade inicial

\frac{\Delta V}{V}=\frac{\partial\Psi}{\partial x}\approx-\frac{\Delta\rho}{\rho_{0}}

\Delta\rho=-\rho_{0}\frac{\partial\Psi}{\partial x}

Essa equação expressa a relação entre mudança de densidade e deslocamento de matéria no volume analisado. Fica claro então que se um dado volume de matéria se move na mesma direção da onda sonora a variação de densidade será negativa, ou seja, a densidade vai diminuir. Isso explica o aumento do volume apresentado nos diagramas.

Analisando as forças que atuam no volume A([x+Δx] – x) devido a pressão, pela esquerda

F=P(x, t)A

pela direita

F=-P(x+\Delta x, t)A

Então a resultante é

F_{R}=P(x, t)A-P(x+\Delta x, t)A

F_{R}=A\Delta x(\frac{P(x, t)-P(x+\Delta x, t}{\Delta x})

F_{R}=-\Delta V\frac{\partial P}{\partial x}

m\frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2}=-\Delta V\frac{\partial P}{\partial x}

\rho_{0}\Delta V\frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2}=-\Delta V\frac{\partial P}{\partial x}

\rho_{0}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2}=-\frac{\partial P}{\partial x}

Tendo essas relações em mãos segue que a onda provoca um deslocamento de matéria que causa uma variação de densidade. Como \Delta P=P-P_{0}, a variação de pressão devido à variação de densidade é descrita por

\Delta P=\frac{\partial P}{\partial\rho}\Delta\rho

\Delta P=-\frac{\partial P}{\partial\rho}\rho_{0}\frac{\partial\Psi}{\partial x}

Aí vem uma última malandragem, por assim dizer, que é o argumento de que:

1. \Delta P=P-P_{0}
2. P_{0}>>\Delta P

Então

\frac{\partial P}{\partial x}=\frac{\partial\Delta P}{\partial x}+\frac{\partial P_{0}}{\partial x}

Segue que das afirmações 1 e 2 que \frac{\partial P_{0}}{\partial x}\rightarrow 0, uma vez que a pressão inicial praticamente não muda. Então

\frac{\partial P}{\partial x}\approx\frac{\partial\Delta P}{\partial x}

O que estabelece uma relação entre

\Delta P=-\frac{\partial P}{\partial\rho}\rho_{0}\frac{\partial\Psi}{\partial x}

e

\rho_{0}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2}=-\frac{\partial P}{\partial x}

Derivando a primeira em relação à posição e igualando ambas se obtém

-\frac{\partial P}{\partial\rho}\rho_{0}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}=-\rho_{0}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2}

\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}=\frac{1}{\frac{\partial P}{\partial\rho}}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2}

Que é análoga à equação das cordas citada antes. Portanto a velocidade do som em um dado meio seria

v=\sqrt{\frac{\partial P}{\partial\rho}}

Que é a expressão correta caso tudo aconteça sob regime isotérmico, contudo em geral o som se propaga rápido em meios como o ar atmosférico, de modo que as expansões são acompanhadas de um aumento de temperatura, mas as rarefações não compensam essa variação porque tudo acontece muito rápido e o processo acaba sendo aproximadamente adiabático.
Newton não sabia disso e acabou usando a Lei de Boyle, que só funciona para temperaturas constantes, e acabou obtendo uma velocidade do som significativamente menor que o valor atualmente conhecido. No final das contas Laplace conseguiu corrigir os cálculos de Newton.

Com pequenas alterações em algumas das passagens acima é possível relacionar a velocidade com grandezas inerentes ao material como o Módulo de Young e Módulo de Compressibilidade, mas já são 01h07, melhor deixar isso pra depois.

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4 comentários sobre “Coisas que oscilam

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