Tetraedro

“Seja OABC um tetraedro, X o ponto de encontro das medianas do triângulo ABC. Exprima o vetor OX em termos dos vetores OA, OB e OC.”

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Segue do enunciado que

\begin{aligned}  \overrightarrow{AW} &= \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \\  \overrightarrow{BY} &= \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} \\  \overrightarrow{CZ} &= \frac{1}{2} \overrightarrow{CA}  \end{aligned}

Como \overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AX} e \overrightarrow{AX}=\lambda \overrightarrow{AY}, interessa saber qual o valor de \lambda. Usando a propriedade do vetor somado ao ponto as relações anteriores podem ser reescritas da seguinte forma

\begin{aligned}  \overrightarrow{AX} &= \lambda \overrightarrow{AY} \\  X &= A + \lambda \overrightarrow{AY}  \end{aligned}

mas X = B + \mu \overrightarrow{BZ}, logo

\begin{aligned}  A + \lambda \overrightarrow{AY} &= B + \mu \overrightarrow{BZ} \\  A + \lambda \overrightarrow{AY} &= A + \overrightarrow{AB} + \mu \overrightarrow{BZ} \\  \lambda \overrightarrow{AY} &= \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} + \mu \overrightarrow{BZ}  \end{aligned}

Reescrevendo \overrightarrow{AX} em termos de \overrightarrow{CA} e \overrightarrow{CB}

\begin{aligned}  \lambda \overrightarrow{AY} &= \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} + \mu \overrightarrow{BZ}\\  \lambda (-\overrightarrow{CA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{CB} ) &= -\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} + \mu (-\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CZ})\\  \lambda (-\overrightarrow{CA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{CB} ) &= -\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} + \mu (-\overrightarrow{CB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{CA})\\  - \lambda \overrightarrow{CA} + \frac{\lambda}{2} \overrightarrow{CB} &= (\frac{\mu}{2} - 1) \overrightarrow{CA} + (1 - \mu) \overrightarrow{CB}  \end{aligned}

Resulta em \lambda = \mu = \frac{2}{3}. Então

\begin{aligned}  \overrightarrow{OX} &= \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AX}\\  \overrightarrow{OX} &= \overrightarrow{OA} + \lambda \overrightarrow{AY}\\  \overrightarrow{OX} &= \overrightarrow{OA} + (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} + \mu \overrightarrow{BZ})\\  \overrightarrow{OX} &= \overrightarrow{OA} + (\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CO} + \overrightarrow{OB} + \frac{2}{3}(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CZ}))\\  \overrightarrow{OX} &= \overrightarrow{OA} + (-\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{CO} + \overrightarrow{CO} + \overrightarrow{OB} + \frac{2}{3}(\overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{CA}))\\  \overrightarrow{OX} &= \overrightarrow{OB} - \frac{2}{3} \overrightarrow{OB} + \frac{2}{3} \overrightarrow{OC} + \frac{1}{3}(\overrightarrow{CO} + \overrightarrow{OA})\\  \overrightarrow{OX} &= \overrightarrow{OB} - \frac{2}{3} \overrightarrow{OB} + \frac{2}{3} \overrightarrow{OC} - \frac{1}{3} \overrightarrow{OC} + \frac{1}{3} \overrightarrow{OA}\\  \overrightarrow{OX} &= \frac{1}{3} \overrightarrow{OB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{OC} + \frac{1}{3} \overrightarrow{OA}  \end{aligned}

Usando essa relação para fazer a soma vetorial usando a biblioteca para visualização de objetos 3D do Python, VPython, o vetor \overrightarrow{OX} realmente parece estar apontado para o baricentro do triângulo ABC.

tetraedro3
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