Espelhos Esféricos

Essa é a reprodução de um trabalho de ótica que eu fiz há aproximadamente um mês, que eu gostei tanto que decidi eternizar no blog (isso enquanto os servidores da wordpress não forem atingidos por um asteroide ou enquanto a terra não sofrer um desastre eletromagnético).

Convenções

(I) p é a distância entre o objeto e o espelho; p' é a distância entre a imagem e o espelho;

(II) Em ótica geométrica o espelho é representado como uma parte de um círculo de raio R, cujo centro denominado centro de curvatura do espelho. Daí vem que f é distância focal (igual à metade do centro de curvatura do espelho, ou \frac{R}{2}).

(III) Todas as medidas de distância serão positivas quando estiverem do mesmo lado dos raios de luz incidentes e negativas quando estiverem do lado oposto aos raios de luz incidentes. Daí se conclui que p sempre será positivo.

(IV) A equação que relaciona distância focal com a posição do objeto e imagem formada (equação dos espelhos):

\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}

Abaixo seguem as condições de distância do objeto ao espelho (p) para que a imagem formada pelos raios refletidos seja:

Real

A imagem formada é real quando pode ser projetada em alguma superfície. Para tal é necessário que os raios de luz convirjam para algum ponto do mesmo lado que os raios de luz incidentes. Daí segue que p'>0. Como p' é dado por

2

Espelho côncavo (f>0)
Para p ter valor maior que zero, o valor de p deve ser maior que o valor do foco. Daí segue que p>f.
img1

Espelho convexo (f<0)
Para que a imagem seja real, p' deve ser maior que zero, mas em um espelho convexo, por convenção de sinal, a distância focal é negativa (o valor de f é menor que zero). A única maneira de tornar p' positivo seria colocando o objeto entre o espelho e o foco, o que é absurdo pois da condição inicial III tem-se que p não assume valores negativos. Portanto p' sempre será menor que zero e a imagem formada pelo espelho convexo nunca será real – ou seja, nunca poderá ser projetada em um anteparo.

Virtual

Imagem virtual é toda imagem que não pode ser projetada em uma superfície, de modo que ao enxergarmos uma imagem virtual o nosso cérebro interpreta os raios de luz que chegam aos nossos olhos de modo que o objeto aparenta estar atrás do espelho (como acontece com os espelhos planos). De maneira análoga ao caso anterior, a imagem será virtual quando p'<0.

Espelho côncavo (f>0)
Para que p' seja menor que zero o valor de f deverá ser maior que o de p. Daí segue que p<f.
img3

Espelho convexo (f<0)
Do caso anterior já é esperado que para espelhos convexos todo valor de p gera em uma imagem virtual.
img4

Imagem direita

Imagem direita é aquela que tem a mesma orientação vertical do objeto. Para se obter os valores de p que resultam em uma imagem real é interessante a construção de um diagrama usando o espelho côncavo (que permite melhor exploração dos sinais que o convexo):
diagrama1Observa-se que \frac{p}{p1}>0 e que \frac{p}{p2}<0. Daí pode-se supor que a imagem será direita quando o quociente da distância da imagem ao espelho pela distância da imagem ao espelho for menor que zero. Como p sempre é positivo, esse quociente será menor que zero quando p' possuir valor menor que zero. Daí segue que p'<0.

Espelho côncavo (f>0)
Já foi obtido anteriormente o valor que p deve possuir para que p' seja menor que zero. No caso do espelho côncavo, p<f resultará em uma imagem direita.
img3

Espelho convexo (f<0)
Analogamente, para o espelho convexo, qualquer valor de p resultará em uma imagem direita.
img5

Invertida

Pelos resultados obtidos anteriormente conclui-se que a imagem formada será invertida quando p'.

Espelho côncavo (f>0)
Para que p' tenha valor maior que zero, o valor de p deve ser maior que o valor de f. Daí segue que p>f.
img6

Espelho convexo (f<0)
Como explicado anteriormente, para espelhos convexos, que possui valor de foco menor que zero, o valor de p' nunca será maior que zero, por isso a imagem formada pelo espelho convexo nunca será invertida.

Imagem ampliada

A imagem será ampliada quando a altura h do objeto tiver valor maior que a altura h' da imagem.

Espelho côncavo (f>0)
Novamente usando o espelho côncavo como base e considerando uma situação onde a altura h do objeto é igual à altura h' da imagem formada, segue o diagrama
diagrama2

Daí

4

Adicionalmente, da condição inicial IV conclui-se que p nunca poderá assumir o mesmo valor que f, porque:

5

É possível notar que a equação 2 leva a uma indeterminação matemática (divisão por zero). Do diagrama inicial ainda é possível notar que p=p'. A partir disso facilmente conclui-se que os dois triângulos formados são semelhantes. Explorando essa propriedade:

6

Isso quer dizer que a altura do objeto será igual à altura da imagem quando a distância do objeto ao espelho possuir o valor do dobro da distância focal (Pela condição inicial II isso implica que as alturas serão iguais quando o objeto estiver posicionado no centro de curvatura do espelho). Finalmente, da equação 1 tem-se que o conjunto de possíveis soluções que pode ser expresso da seguinte forma

7

Da primeira linha desta relação entre os valores de p' e p — e tendo em mente todas as relações obtidas nessa seção — é possível inferir que a imagem será ampliada enquanto p' vier se aproximando do valor de p, a grosso modo, da esquerda para a direita, sendo o ponto de curvatura a posição onde a altura de ambos, objeto e imagem, terá mesmo valor. Reciprocamente, a imagem p se aproxima de p' da direita para a esquerda, sempre havendo entre as duas o centro de curvatura do espelho.
Da segunda linha tem-se que a imagem será ampliada quando p' for negativo e p, positivo. Os valores que p assume para que que p' seja negativo já foram definidos anteriormente: qualquer valor entre o espelho e o foco (p<f).

Por fim, sabendo que p deve ser diferente de f para que haja imagem, obtém-se que a imagem será ampliada, no espelho côncavo quando p estiver contido no intervalo ]2f, f[ ou ]f, 0[ (em outra notação: 2f > p > 0, com p\neq f).
Ou seja, p deve estar entre o foco e o centro de curvatura ou entre o foco e o espelho.img3

Espelho convexo (f<0)
Não é possível posicionar p de forma que a posição esteja compreendida em algum dos intervalos acima, portanto imagens formadas por espelhos convexos nunca serão ampliadas.

Imagem reduzida

Das relações obtidas anteriormente, para que a imagem seja reduzida basta apenas que o objeto esteja em uma posição além do centro de curvatura do espelho. Daí segue que p>2f.

Espelho côncavo (f>0)
Para o espelho côncavo o objeto deve estar a uma distância superior à posição do centro de curvatura do espelho. Daí segue que p>2f..
img6

Espelho convexo (f<0)
Para o espelho convexo qualquer valor de p é maior que o centro de curvatura. Então a imagem será reduzida para toda posição de p.
img4

Diagramas dos espelhos feitos usando a web-aplicação disponível em

http://www.labmetro.ufsc.br/Disciplinas/EMC6422/APPLETS/EspelhoEsferico/EspelhoEsferico.html

Anúncios

Comentário:

Preencha os seus dados abaixo ou clique em um ícone para log in:

Logotipo do WordPress.com

Você está comentando utilizando sua conta WordPress.com. Sair / Alterar )

Imagem do Twitter

Você está comentando utilizando sua conta Twitter. Sair / Alterar )

Foto do Facebook

Você está comentando utilizando sua conta Facebook. Sair / Alterar )

Foto do Google+

Você está comentando utilizando sua conta Google+. Sair / Alterar )

Conectando a %s