Aceleração Centrípeta

acpO tratamento vetorial mais básico do texto abaixo foi baseado no tratamento encontrado no primeiro volume da coleção de livros de física para ensino médio “Universo da Física”, de Sampaio e Calçada. Na sequência segue um segundo texto com uma abordagem um pouco diferente, usando cálculo diferencial e integral.

vetorial  A figura (1) representa uma partícula se deslocando de A à B em uma trajetória cirular. Sabe-se que:

|\vec{a}_m| = \frac{\vec{V}_B -\vec{V}_A}{2}

Observando a figura (2) percebe-se que o angulo \theta formado pelos vetores velocidade de A e B é igual ao ângulo formado entre os segumentos de reta CA e CB. A partir disso pode-se inferir que os triângulos destacados em ambas as figuras são semelhantes. Usando o princípio da semelhança de triângulos, temos:,

\frac{|\Delta \vec{V}|}{\overline{AB}} = \frac{|\vec{V}_A|}{R}

Voltando à figura (1), quando \Delta t \to 0, em outras palavras, quando a variação de tempo tende a 0, ou seja, quando assume valores cada vez menores, o segmento de reta AB tende a ser igual o valor do segmento de arco AB. Como ambos são medidas de comprimento, pode-se escrevê-los como um produto da velocidade pela variação do tempo. Sabe-se ainda que, ao tender a variação de tempo a 0, o vetor velocidade de A tende à velocidade instantânea v

\overline{AB} \approx \widetilde{AB} = v \Delta t\,\,\,\,\, e\,\,\,\,\, |\vec{V}_A| \to v

A partir destas relações

\frac{|\Delta \vec{V}|}{v \Delta t}=\frac{v}{R}\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\frac{|\Delta \vec{V}|}{\Delta t}=\frac{v^2}{R}

Comparando a equação de aceleração vetorial média com esta última

|\vec{a}_m|=\frac{v^2}{R}

Quando a variação do tempo tende a zero a aceleração vetorial média assume caráter instantâneo. Uma vez que essa aceleração é um vetor, possui direção e sentido e (como pode ser visto na dedução que segue logo abaixo) o vetor aceleração centrípeta sempre aponta para o centro da trajetória e daí vem o “centrípeta” do nome.

De modo geral, toda trajetória curvilínea possui aceleração com uma componente centrípeta, mas o objetivo desse texto não é tratar disso. Caso você queira saber um pouco mais sobre esse fato pesquise por “heredograma”.

Agora uma outra abordagem: considere a situação da figura abaixo

123circulo

A partícula acima se move a velocidade constante v. Seu vetor posição é

\vec{r}=r \cdot cos\theta \vec{i} + r \cdot sin\theta \vec{j}

Se

\omega=\frac{ \Delta \theta}{ \Delta t}\qquad

então

lim_{\Delta t \to 0}\, \omega \Rightarrow \theta=\omega t

aplicando na relação acima segue que

\begin{aligned} &\vec{v}&= & \frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t}\\ & &= & r\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(cos \omega t )\; \vec{i}\, +\, r\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(sin \omega t )\; \vec{j}\\ & &= & r\omega (-sin \omega t\; \vec{i}\, +\, cos \omega t\; \vec{j})\\ & & & \\ &\vec{a} &= & \frac{\mathrm{d} \vec{v}}{\mathrm{d} t}\\ & &= & r\omega \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(-sin \omega t )\; \vec{i}\, +\, r\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(cos \omega t )\; \vec{j}\\ & &= & r\omega^{2} (-cos \omega t\; \vec{i}\, - sin \omega t\; \vec{j})\\ & &= & -\omega^{2} \vec{r} \end{aligned}

O resultado da segunda derivada é um vetor com diração radial e sentido oposto ao vetor posição \vec{r}, logo esse vetor aponta para o centro do círculo.

O comprimento do arco percorrido pela partícula é proporcional ao ângulo varrido e o fator de proporcionalidade é o raio da circunferência, ou seja, \Delta s = \Delta \theta \cdot r.
A equação de velocidade média da partícula passa a ser v_{m}=\frac{\Delta \theta}{\Delta t}. Mas \Delta \theta=\Delta \omega \Delta t. Então v_{m}=\frac{\omega \Delta t r}{\Delta t}. Quando \Delta t \to 0 vale que v=\omega c\dot r e finalmentemente, sendo \vec{u} o vetor unitário que conserva a mesma direção e sentido do vetor \vec{r}

\vec{a}_{c}=-\frac{v^{2}}{r}\;\vec{u}

.

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6 comentários sobre “Aceleração Centrípeta

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